Задача теплового взрыва со стохастической границей: квазистационарное приближение и прямое численное моделирование

Цель работы состоит в численном исследовании стохастической модификации задачи Франка-Каменецкого о развитии экзотермической реакции в плоскопараллельном слое со случайными флуктуациями температуры на внешней границе. Изменение температуры задается случайным процессом (броуновским движением). Такая задача может моделировать поведение некоторых типов химических реакторов, например, при их работе в условиях неуправляемых внешних воздействий. Важное отличие рассмотренной постановки от детерминированной заключается в том, что наличие шума допускает достижение критических условий при любых начальных условиях. Методы, используемые в работе, включают математическую теорию случайных процессов, а также численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений. С помощью известных результатов теории случайных процессов оценены условия достижения зажигания в квазистационарном приближении (т.е. когда скорость тепловой релаксации намного выше скорости изменения температуры). Показано, что в такой постановке можно получить приближенную зависимость между параметрами случайного блуждания и динамическими характеристиками зажигания (ожидаемым временем достижения условий теплового взрыва). Кроме этого, уравнение нестационарного теплопереноса в реагирующей среде решается численно для большого количества случайных траекторий температуры на границе области. Для этого используется комбинированная схема с явной аппроксимацией нелинейного источника и неявной аппроксимацией температурного поля. Сравнение двух подходов показало, что основные закономерности нестационарного развития теплового взрыва в стохастической среде могут быть с хорошей точностью приближены зависимостями, которые получаются из решения квазистационарной задачи с учетом небольшой корректировки для критической температуры (отвечающей границе устойчивости для стационарной задачи). Получены распределения характеристик зажигания (температуры зажигания, максимальной температуры окружающей среды, времени зажигания) при разных значениях реакционной способности и интенсивности шума.

1. Mallick S., Gayen D. Thermal behaviour and thermal runaway propagation in lithium-ion battery systems – a critical review // Journal of Energy Storage. 2023. Vol. 62. P. 106894. https://doi.org/10.1016/j.est.2023.106894. EDN: VDIKWS.

2. Fu Hui, Wang Junling, Li Lun, Gong Junhui, Wang Xuan. Numerical study of mini-channel liquid cooling for suppressing thermal runaway propagation in a lithium-ion battery pack // Applied Thermal Engineering. 2023. Vol. 234. P. 121349. https://doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2023.121349. EDN: OAMIOZ.

3. Франк-Каменецкий Д.А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопередача в химической кинетике: монография. 4-е изд. М.: Наука, 2008. 407 с. EDN: QKBWWN.

4. Baras F., Nicolis G., Mansour M.M., Turner J.W. Stochastic theory of adiabatic explosion // Journal of Statistical Physics. 1983. Vol. 32. P. 1–23. https://doi.org/10.1007/BF01009416.

5. De Pasquale F., Mecozzi A. Theory of chemical fluctuations in thermal explosions // Physical Review A. 1985. Vol. 31. P. 2454. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.31.2454.

6. Fernandez A. Theory of scaling for fluctuations in thermal explosion conditions // Berichte der Bunsengesellschaft fur physikalische Chemie. 1987. Vol. 91. Iss. 2. P. 159–163. https://doi.org/10.1002/bbpc.19870910216.

7. Frankowicz M., Nicolis G. Transient evolution towards a unique stable state: stochastic analysis of explosive behavior in a chemical system // Journal of Statistical Physics. 1983. Vol. 33. P. 595–609. https://doi.org/10.1007/ BF01018836.

8. Frankowicz M., Mansour M.M., Nicolis G. Stochastic analysis of explosive behaviour: a qualitative approach // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1984. Vol. 125. Iss. 1. P. 237–246. https://doi.org/10.1016/0378-4371(84)90011-6.

9. Van Kampen N.G. Intrinsic fluctuations in explosive reactions // Journal of Statistical Physics. 1987. Vol. 46. No. 5. P. 933–948. https://doi.org/10.1007/BF01011150. EDN: ECYFKX.

10. Vlad M.O., Ross J. A stochastic approach to nonequilibrium chain reactions in disordered systems: breakdown of eikonal approximation // International Journal of Thermophysics. 1997. Vol. 18. P. 957–975. https://doi.org/10.1007/BF02575241.

11. Gorecki J., Popielawski J. On the stochastic theory of adiabatic thermal explosion in small systems — Numerical results // Journal of Statistical Physics. 1986. Vol. 44. P. 941–954. https://doi.org/10.1007/BF01011916.

12. Zheng Qiang, Ross J. Comparison of deterministic and stochastic kinetics for nonlinear systems // Journal of Chemical Physics. 1991. Vol. 94. Iss. 5. P. 3644–3648. https://doi.org/10.1063/1.459735.

13. Chou Dong-Pao, Lackner T., Yip Sidney. Fluctuation effects in models of adiabatic explosion // Journal of Statistical Physics. 1992. Vol. 69. P. 193–215. https://doi.org/10.1007/BF01053790.

14. Nowakowski B., Lemarchand A. Thermal explosion near bifurcation: stochastic features of ignition // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2002. Vol. 311. Iss. 1-2. P. 80–96. https://doi.org/10.1016/S0378-4371(02)00824-5. EDN: AYCRRJ.

15. Lemarchand A., Nowakowski B. Fluctuation-induced and nonequilibrium-induced bifurcations in a thermochemical system // Molecular Simulation. 2004. Vol. 30. Iss. 11-12. P. 773–780. http://dx.doi.org/10.1080/0892702042000270151.

16. Буевич Ю.А., Федотов С.П. Формирование режимов гетерогенной реакции под воздействием мультипликативного шума // Инженерно-физический журнал. 1987. Т. 53. № 5. С. 802–807.

17. Wei James. Irreversible thermodynamics in engineering // Industrial and Engineering Chemistry. 1966. Vol. 50. Iss. 10. P. 55–60. https://doi.org/10.1021/ie50682a010.

18. Van der Broeck C., Parrondo J.M.R., Toral R., Kawai R. Nonequilibrium phase transitions induced by multiplicative noise // Physical Review E. 1997. Vol. 55. P. 4084. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.55.4084.

19. Bedeaux D., Pagonabarraga I., De Zarate J.M.O., Sengers J.V., Kjelstrup S. Mesoscopic non-equilibrium thermodynamics of non-isothermal reaction-diffusion // Physical Chemistry Chemical Physics. 2010. Vol. 12. Iss. 39. P. 12780–12793. https://doi.org/10.1039/C0CP00289E. EDN: OBNEQV.

20. Bochkov G.N., Orlov A.L., Kolpashchikov V.L. Fluctuation-dissipation models of mass transfer in systems with chemical reactions // International Communications in Heat and Mass Transfer. 1985. Vol. 12. Iss. 1. P. 33–43. https://doi.org/10.1016/0735-1933(85)90005-3.

21. Schmiedl T., Seifert U. Stochastic thermodynamics of chemical reaction networks // Journal of Chemical Physics. 2007. Vol. 126. Iss. 4. P. 044101. https://doi.org/10.1063/1.2428297.

22. Ge Hao, Qian Hong. Mathematical formalism of nonequilibrium thermodynamics for nonlinear chemical reaction systems with general rate law // Journal of Statistical Physics. 2017. Vol. 166. Iss. 1. P. 190–209. https://doi.org/10.1007/s10955-016-1678-6. EDN: YAXFNJ.

23. Darvey I.G., Staff P.J. Stochastic approach to first-order chemical reaction kinetics // Journal of Chemical Physics. 1966. Vol. 44. Iss. 3. P. 990–997. https://doi.org/10.1063/1.1726855.

24. Van Kampen N.G. The equilibrium distribution of a chemical mixture // Physics Letters A. 1976. Vol. 59. Iss. 5. P. 333–334. https://doi.org/10.1016/0375-9601(76)90398-4.

25. Gillespie D.T. Stochastic simulation of chemical kinetics // Annual Reviews of Physical Chemistry. 2007. Vol. 58. P. 35–55. https://doi.org/10.1146/annurev.physchem.58.032806.104637.

26. Higham D.J. Modeling and simulating chemical reactions // SIAM review. 2008. Vol. 50. Iss. 2. P. 347–368. https://doi.org/10.1137/060666457.

27. Sandu A. A new look at the chemical master equation // Numerical Algorithms. 2014. Vol. 65. P. 485–498. https://doi.org/10.1007/s11075-013-9758-z.

28. Schlögl F. Stochastic measures in nonequilibrium thermodynamics // Physics Reports. 1980. Vol. 62. Iss. 4. P. 267–380. https://doi.org/10.1016/0370-1573(80)90019-8. EDN: XSQZOA.

29. Öttinger H.C., Peletier M.A., Montefusco A. A framework of nonequilibrium statistical mechanics. I. Role and types of fluctuations // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 2020. Vol. 46. Iss. 1. P. 1–13. https://doi.org/10.1515/jnet-2020-0068. EDN: UJNFDB.

30. Fernandez A., Rabitz H. The scaling of nonequilibrium fluctuations in gaseous thermal explosions // Berichte der Bunsengesellschaft fur physikalische Chemie. 1988. Vol. 92. Iss. 6. P. 754–760. https://doi.org/10.1002/bbpc.198800184.

31. Baer M.R., Gartling D.K., Desjardin P.E. Probabilistic models for reactive behaviour in heterogeneous condensed phase media // Combustion Theory and Modelling. 2012. Vol. 16. Iss. 1. P. 75–106. https://doi.org/10.1080/13647830.2011.606916.

32. Fedotov S.P. Stochastic analysis of the thermal ignition of a distributed explosive system // Physics Letters A. 1993. Vol. 176. Iss. 3-4. P. 220–224. https://doi.org/10.1016/0375-9601(93)91038-7. EDN: ZYVJQJ.

33. Derevich I.V. Effect of temperature fluctuations of fluid on thermal stability of particles with exothermic chemical reaction // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2010. Vol. 53. Iss. 25-26. P. 5920–5932. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.07.031. EDN: MXGOGN.

34. Derevich I., Galdina D. Simulation of thermal explosion of catalytic granule in fluctuating temperature field // Journal of Applied Mathematics and Physics. 2013. Vol. 1. No. 5. P. 1–7. http://doi.org/10.4236/jamp.2013.15001.

35. Derevich I.V., Fokina A.Y., Ermolaev V.S., Mordkovich V.Z., Solomonik I.G. Heat and mass transfer in Fischer–Tropsch catalytic granule with localized cobalt microparticles // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2018. Vol. 121. P. 1335–1349. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2018.01.077. EDN: XXMULJ.

36. Донской И.Г., Гросс Е.И. Численный анализ стохастических закономерностей теплового зажигания в стохастической среде // Информационные и математические технологии в науке и управлении. 2024. № 1. С. 66–77. https://doi.org/10.25729/ESI.2024.33.1.006. EDN: BWDPTW.

37. Деревич И.В., Клочков А.К. Тепловой взрыв одиночных частиц в случайном поле температуры среды // Теплофизика высоких температур. 2023. Т. 61. № 1. С. 108–117. https://doi.org/10.31857/S0040364423010039. EDN: PYOCSJ.

38. Донской И.Г. Стационарное уравнение теплового взрыва в среде с распределенной энергией активации: численное решение и приближения // iPolytech Journal. 2022. Т. 26. № 4. С. 626–639. https://doi.org/10.21285/1814-3520-2022-4-626-639. EDN: BNSPEZ.

39. Kloeden P.E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. Berlin: Springer, 1991. Vol. 19. Iss. 11. 636 р. https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5.