Применение спектральных разложений грамианов управляемости и наблюдаемости для мониторинга и управления электроэнергосистемами

Цель исследования – дать краткий обзор результатов применения спектральных разложений грамианов управляемости и наблюдаемости по собственным числам матрицы динамики для мониторинга и управления электроэнергосистемами. Используется новая концепция модального анализа по Ляпунову, сочетающая традиционный селективный модальный анализ со спектральным разложением специально выбранных функций Ляпунова по спектру матрицы динамики. В отличие от традиционных коэффициентов участия, используются коэффициенты участия по Ляпунову, которые отражают вклад мод системы в функции Ляпунова, оценивающие интегральную энергию, определяемую квадратом L2-нормы переменных состояния или сигналов на конечном или бесконечном интервале времени. В отличие от известных методов нелинейного модального анализа, новые показатели позволяют учитывать нелинейности во времени и резонансы между модами с близкими частотами. В работе рассмотрены три применения модального анализа по Ляпунову к электроэнергосистемам. Во-первых, представлен метод оценки структуры низкочастотных колебаний и их взаимодействий как в пространстве состояний, так и с учетом их расположения на графе системы. Предлагаемые показатели позволяют анализировать не только структуру отдельных межрайонных колебаний, но и геометрию их парных взаимодействий в узлах сети. Во-вторых, представлен селективный метод настройки глобального линейно-квадратичного регулятора для подавления выбранной группы межрайонных колебаний. Новый метод улучшает подавление выбранной группы мод, по сравнению с базовым методом линейно-квадратичного регулятора. В-третьих, представлен метод определения местоположения источника вынужденных колебаний в сети (когда их частота близка к частоте собственных колебаний системы), который показал высокую эффективность на тестовых примерах. Рассмотренные примеры подтверждают, что модальный анализ на основе спектральных разложений решений матричных уравнений, используемых в теории управления, может стать ценным инструментом для разработки новых алгоритмов и интеллектуальных методов управления макро- и микросетями. 

1. Gupta R., Zhao Wei, Kapania R.K. Controllability Gramian as control design objective in aircraft structural design optimization // American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 2020. Vol. 58. Iss. 9. P. 3199–3220. https://doi.org/10.2514/1.J059102.

2. Casadei G., De Wit C.C., Zampieri S. Model reduction based approximation of the output controllability Gramian in large-scale networks // IEEE Transactions on Control of Network Systems. 2020. Vol. 7. Iss. 4. P. 1778–1788. https://doi.org/10.1109/TCNS.2020.3000694.

3. Benner P., Goyal P., Duff I.P. Gramians, energy functionals, and balanced truncation for linear dynamical systems with quadratic outputs // IEEE Transactions on Automatic Control. 2022. Vol. 67. Iss. 2. P. 886–893. https://doi.org/10.1109/TAC.2021.3086319.

4. Dilip A.S.A. The controllability Gramian, the Hadamard product, and the optimal actuator/leader and sensor selection problem // IEEE Control Systems Letters. 2019. Vol. 3. Iss. 4. P. 883–888. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2019.2919278.

5. Zhao Shiyu, Pasqualetti F. Networks with diagonal controllability Gramian: analysis, graphical conditions, and design algorithms // Automatica. 2019. Vol. 102. P. 10–18. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2018.12.038.

6. Iskakov A.B., Kutyakov E.Y., Tomin N.V., Panasetsky D.A., Abramenkov A.N., Dushin S.V. Estimation of the location of inter-area oscillations and their interactions in electrical power systems using Lyapunov modal analysis // International Journal of Electrical Power and Energy Systems. 2023. Vol. 153. P. 109374. https://doi.org/10.1016/j.ijepes.2023.109374.

7. Ghosh S., Isbeih Yо.J., El Moursi M.S., El-Saadany E.F. Cross-Gramian model reduction approach for tuning power system stabilizers in large power networks // IEEE Transactions on Power Systems. 2019. Vol. 35. Iss. 3. P. 1911– 1922. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2019.2924495.

8. Bianchin G., Pasqualetti F. Gramian-based optimization for the analysis and control of traffic networks // IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems. 2020. Vol. 21. Iss. 7. P. 3013–3024. https://doi.org/10.1109/TITS.2019.2922900.

9. Baur U., Benner P., Feng Lihong. Model order reduction for linear and nonlinear systems: a system-theoretic perspective // Archives of Computational Methods in Engineering. 2014. Vol. 21. Iss. 4. P. 331–358. https://doi.org/10.1007/s11831-014-9111-2.

10. Bui H.H. The application of LQG balanced truncation algorithm to the digital filter design // Engineering, Technology and Applied Science Research. 2022. Vol. 12. Iss. 6. P. 9458–9463. https://doi.org/10.48084/etasr.5235.

11. Gajamannage K., Park Yо., Sadovski A. Geodesic Gramian denoising applied to the images contaminated with noise sampled from diverse probability distributions // IET Image Processing. 2023. Vol. 17. Iss. 1. P. 144–156. https://doi.org/10.1049/ipr2.12623.

12. Freitas F.D., Rommes J., Martins N. Gramian-based reduction method applied to large sparse power system descriptor models // IEEE Transactions on Power Systems. 2008. Vol. 23. Iss. 3. P. 1258–1270. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2008.926693.

13. Antoulas A.C. Approximation of large-scale dynamical systems. Philadelphia: SIAM, 2005. 481 p. https://doi.org/ 10.1137/1.9780898718713.

14. Ядыкин И.Б. О свойствах грамианов непрерывных систем управления // Автоматика и телемеханика. 2010. № 6. С. 39–50. EDN: MTHAXD.

15. Behr M., Benner P., Heiland J. Solution formulas for differential Sylvester and Lyapunov equations // Calcolo. 2019. Vol. 56. Iss. 4. P. 51. https://doi.org/10.1007/s10092-019-0348-x.

16. Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Спектральные разложения для решений уравнений Сильвестра – Ляпунова – Крейна // Доклады Академии наук. 2017. Vol. 472. Iss. 4. P. 388–392. https://doi.org/10.7868/S0869565217040065. EDN: YKUMBH.

17. Ядыкин И.Б., Галяев И.А. Спектральные разложения грамианов и энергетических метрик непрерывных неустойчивых систем управления // Автоматика и телемеханика. 2023. № 10. С. 132–149. https://doi.org/10.31857/S0005231023100112. EDN: YCDMIQ.

18. Ядыкин И.Б., Искаков А.Б. Спектральные разложения решений уравнений Ляпунова для билинейных динамических систем // Доклады Академии наук. 2019. Т. 488. № 6. С. 599–603. https://doi.org/10.31857/S0869-56524886599-603. EDN: RBMTAU.

19. Vittal V., Bhatia N., Fouad A.A. Analysis of the inter-area mode phenomenon in power systems following large disturbances // IEEE Transactions on Power Systems. 1991. Vol. 6. Iss. 4. P. 1515–1521. https://doi.org/10.1109/59.116998.

20. Pariz N., Shanechi H.M., Vaahedi E. Explaining and validating stressed power systems behavior using modal series // IEEE Transactions on Power Systems. 2003. Vol. 18. Iss. 2. P. 778–785. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2003.811307.

21. Arroyo J., Betancourt R., Messina A.R., Barocio E.D. Development of bilinear power system representations for small signal stability analysis // Electric Power Systems Research. 2007. Vol. 77. Iss. 10. P. 1239–1248. https://doi.org/10.1016/j.epsr.2006.09.014.

22. Iskakov A.B., Yadykin I.B. Lyapunov modal analysis and participation factors applied to small-signal stability of power systems // Automatica. 2021. Vol. 132. P. 109814. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2021.109814.

23. Perez-Arriaga I.J., Verghese G.C., Schweppe F.C. Selective modal analysis with applications to electric power systems. Part I: Heuristic introduction // IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems. 1982. Vol. PAS-101. Iss. 9. P. 3117–3125. https://doi.org/10.1109/TPAS.1982.317524.

24. Kundur P. Power systems stability and control. New York: McGraw-Hill, 1994. 1176 p.

25. Silva-Saravia H., Pulgar-Painemal H., Zaretzki R. Chance-constrained optimal location of damping control actuators under wind power variability // IEEE International Conference on Probabilistic Methods Applied to Power Systems. 2018. http://doi.org/10.1109/PMAPS.2018.8440536.

26. Chompoobutrgool Yu., Vanfretti L. Identification of power system dominant inter-area oscillation paths // IEEE Transactions on Power Systems. 2013. Vol. 28. Iss. 3. P. 2798–2807. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2012.2227840.

27. Chompoobutrgool Yu., Vanfretti L. Analysis of time delay effects for wide-area damping control design using dominant path signals // IEEE PES General Meeting. Conference and Exposition. 2014. https://doi.org/10.1109/PESGM.2014.6938872.

28. Milano F. An open source power systems analysis toolbox // IEEE Transactions on Power Systems. 2005. Vol. 20. Iss. 3. P. 1199–1206. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2005.851911.

29. Singh A.K., Pal B.C. Report on the 68-bus, 16-Machine, 5-Area system // IEEE PES task force on benchmark systems for stability controls. 2013. Version 3.3. Режим доступа: https://www.researchgate.net/publication/311680574_IEEE_PES_Task_Force_on_Benchmark_Systems_for_Stability_Controls_Report_on_ the_68-Bus_16-Machine_5-Area_System (дата обращения: 10.02.2026).

30. Zhang Yang, Bose A. Design of wide-area damping controllers for interarea oscillations // IEEE Transactions on Power Systems. 2008. Vol. 23. Iss. 3. P. 1136–1143. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2008.926718.

31. Kataev D.E., Kutyakov E.Yu. Structurally constrained fuzzy selective LQ WADC based on the spectral decomposition of gramians // IFAC-PapersOnLine. 2024. Vol. 58. Iss. 13. P. 350–355. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2024.07.507.

32. Jain A., Biyik E., Chakrabortty A. A model predictive control design for selective modal damping in power systems // Proceedings of the American Control Conference. 2015. P. 4314–4319. https://doi.org/10.1109/ACC.2015.7172007.

33. Xie Ruichao, Kamwa I., Chung C.Y. A novel wide-area control strategy for damping of critical frequency oscillations via modulation of active power injections // IEEE Transactions on Power Systems. 2020. Vol. 36. Iss. 1. P. 485–494. https://doi.org/10.48550/arXiv.2003.11397.

34. Jain A., Chakrabortty A., Biyik E. An online structurally constrained LQR design for damping oscillations in power system networks // American Control Conference. Seattle, 2017. Р. 2093–2098. https://doi.org/10.23919/ACC.2017.7963261.

35. Ghorbaniparvar M. Survey on forced oscillations in power system // Journal of Modern Power Systems and Clean Energy. 2017. Vol. 5. P. 671–682. https://doi.org/10.1007/s40565-017-0273-4.

36. Iskakov A.B., Kutyakov E.Yu., Kataev D.E. Locating the source of forced oscillations on the basis of Lyapunov modal analysis // IFAC-PapersOnLine. 2024. Vol. 58. Iss. 13. P. 685–690. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2024.07.561.

37. Chen Lei, Min Yong, Hu Wei Tian. An energy-based method for location of power system oscillation source // IEEE Transactions on Power Systems. 2013. Vol. 28. Iss. 2. P. 828–836. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2012.2211627.

38. Xie R., Trudnowski D. Distinguishing features of natural and forced oscillations // IEEE Power and Energy Society General Meeting. 2015. https://doi.org/10.1109/PESGM.2015.7285781.

39. Huang Tong, Freris N.M., Kumar P.R., Xie Li. A synchrophasor data-driven method for forced oscillation localization under resonance conditions // IEEE Transactions on Power Systems. 2020. Vol. 35. Iss. 5. P. 3927–3939. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2020.2982267.

40. Arash S., Venkatasubramanian V.M. Inter-area resonance in power systems from forced oscillations // IEEE Transactions on Power Systems. 2015. Vol. 31. Iss. 1. Р. 378–386. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2015.2400133.

41. Delabays R., Lokhov A.Y., Tyloo M., Vuffray M. Locating the source of forced oscillations in transmission power grids // PRX Energy. 2023. Iss. 2. Р. 023009. https://doi.org/10.1103/PRXEnergy.2.023009.

42. Wang Xiaozhe, Turitsyn K. Data-driven diagnostics of mechanism and source of sustained oscillations // IEEE Transactions on Power Systems. 2016. Vol. 31. Iss. 5. Р. 4036–4046. https://doi.org/10.48550/arXiv.1506.00934.

43. Gibbard M.J., Pourbeik P., Vowles D.J. Small-signal stability, control and dynamic performance of power systems. Adelaide: University of Adelaide Press, 2015. 658 р. https://doi.org/10.20851/small-signal.

44. Dosiek L., Pierre J.W., Trudnowski D.J. A comparative study of signal processing methods for estimating electromechanical modes from PMU data // IEEE Transactions on Power Systems. 2013. Vol. 28. Iss. 2. Р. 1907– 1919. https://doi.org/10.1109/TPWRS.2012.2224387.

45. Juang Joe, Pappa R.S. An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1985. Vol. 8. Iss. 5. Р. 620–627. https://doi.org/10.2514/3.20031.

46. Zhou N., Pierre J.W., Hauer J.F. Initial results in comparing methods for estimating damping and frequency of electromechanical oscillations from ambient signals // IEEE Power Engineering Society General Meeting. 2005. https://doi.org/10.1109/PES.2005.1489679.

47. Pierre B.J., Wilches-Bernal F., Schoenwald D.A. A tutorial on modal analysis methods for power systems: Tech. Rep. SAND2019-11116. Albuquerque: Sandia National Laboratories, 2019. 84 p.